Singkatnya, soal ini ingin kita untuk menghitung volume dari bangun berikut, dengan tinggi silinder dan jari-jarinya diberikan:
Untuk menyelesaikan soal ini, dibutuhkan pengetahuan tentang integral. Misalkan jari-jari silinder itu r dan tingginya h. Terdapat dua macam kasus, yaitu ketika 2r ≤ h, dan ketika 2r > h (bentuknya menjadi berubah).
Pertama, kita anggap 2r ≤ h sehingga bentuknya persis seperti yang ditunjukkan gambar di atas. Ambil \(\frac{1}{8}\) bagian dari bangun itu, sehingga didapatkan bentuk berikut:
Kita cukup mencari volume dari bangun ini, lalu dikali dengan 8. Volume dari bangun ini sama dengan volume dari 2 kali \(\frac{1}{4}\) silinder dikurangi dengan volume daerah di daerah perpotongannya. Daerah perpotongan itu memiliki bentuk seperti gambar warna ungu, dan memiliki tampak samping seperti bentuk berwarna merah:
Dengan menganggap bidang s bergeser dari atas ke bawah (yaitu dengan menjalankan x=0 sampai x=r), volume dari bangun perpotongan itu adalah:
\(
\begin{eqnarray*}
\int_0^r \! s^2 \, \mathrm{d}x &=& \int_0^r \! \left(\sqrt{r^2 - x^2}\right)^2 \, \mathrm{d}x\\
&=& \int_0^r \! r^2 - x^2 \, \mathrm{d}x\\
\end{eqnarray*}
\)
Integral tersebut diselesaikan dengan substitusi trigonometri
Misalkan \(x = r\sin{\theta}\), maka \(\mathrm{d}x = r\cos{\theta}\ \mathrm{d}\theta\)
Perhatikan bahwa batas-batas integral kita masih dalam \(x\), bukan \(\theta\). Untuk itu, kita perlu melakukan perubahan.
Untuk batas bawah:
\(
\begin{eqnarray*}
0 &=& r \sin{\theta}\\
0 &=& \sin{\theta}\\
\theta &=& 0\\
\end{eqnarray*}
\)
Untuk batas atas:
\(
\begin{eqnarray*}
r &=& r \sin{\theta}\\
1 &=& \sin{\theta}\\
\theta &=& \pi/2\\
\end{eqnarray*}
\)
Substitusikan ke dalam persamaan:
\(
\begin{eqnarray*}
\int_0^r \! r^2 - x^2 \, \mathrm{d}x &=& \int_0^{\pi/2} \! \left( r^2 - r^2\sin^2{\theta}\right) r \cos{\theta}\ \mathrm{d}\theta\\
&=& \int_0^{\pi/2} \! r^3 (1 - \sin^2{\theta}) \cos{\theta}\ \mathrm{d}\theta\\
&=& r^3 \left( \int_0^{\pi/2} \! \cos{\theta}\ \mathrm{d}\theta - \int_0^{\pi/2} \! \sin^2{\theta}\cos{\theta}\ \mathrm{d}\theta\right) \\
&=& r^3 \left( \left[\sin{\theta}\right]_0^{\pi/2} - \left[\frac{1}{3}\sin^3{\theta}\right]_0^{\pi/2} \right)\\
&=& r^3 \left( 1 - \frac{1}{3} \right)\\
&=& \frac{2}{3}r^3\\
\end{eqnarray*}
\)
Jadi kita sudah dapatkan volume dari bagian perpotongan kedua silinder tersebut. Volume keseluruhannya adalah 8 dikali, luas 2 kali 1/4 tabung dikurangi daerah yang tumpang tindih:
\(
\begin{eqnarray*}
V &=& 8\left( 2\frac{1}{4}\pi r^2 h - \frac{2}{3}r^3 \right) \\
&=& 2\pi r^2 h - \frac{16}{3}r^3\\
\end{eqnarray*}
\)
Sekarang kita beranjak ke kasus berikutnya, ketika 2r > h. Anda dapat membayangkan bentuknya seperti dua koin yang menyatu di bagian tengah. Seperempat dari bangun tersebut berbentuk seperti gambar di kiri:
Volume yang dipotong adalah:
\(
\begin{eqnarray*}
2 \int_0^{h/2} \! x s \, \mathrm{d}x &=& 2 \int_0^{h/2} \! x \sqrt{r^2 - x^2} \, \mathrm{d}x\\
\end{eqnarray*}
\)
Seperti pada cara yang sebelumnya, kita gunakan substitusi trigonometri.
\(
\begin{eqnarray*}
2 \int_0^{h/2} \! r\sin{\theta} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2{\theta}} \, r\cos{\theta}\ \mathrm{d}\theta &=& 2 \int_0^{h/2} \! r^3 \sin{\theta}\cos^2{\theta} \, \mathrm{d}\theta\\
&=& 2\left[ -\frac{1}{3} r^3 \cos^3{\theta} \right]_0^{h/2} \\
&=& -\frac{2}{3}\left[ r^3 \cos^3{\theta} \right]_0^{h/2} \\
\end{eqnarray*}
\)
Ups, batas integral masih dalam \(x\). Akan lebih mudah jika \(\theta\) dikembalikan ke \(x\). Perhatikan bahwa \(r\cos{\theta} = \sqrt{r^2 - x^2}\). Jika disubstitusi:
\(
\begin{eqnarray*}
-\frac{2}{3}\left[ r^3 \cos^3{\theta} \right]_0^{h/2} &=&-\frac{2}{3}\left[ (r^2 - x^2)^{3/2} \right]_0^{h/2}\\
\end{eqnarray*}
\)
Berhubung kalau dibuka ke bentuk tertutup rumusnya akan memusingkan, jadi saya biarkan dalam bentuk dengan batas atas dan bawah saja.
Volume akhir dari kasus kedua ini adalah 4 dikali 2 dikali, volume setengah silinder yang dikurangi bagian terpotong:
\(
\begin{eqnarray*}
V &=& 4 \left( 2\left( \left( \frac{1}{2}\pi r^2 \frac{1}{2}h \right) - \left( -\frac{2}{3}\left[ (r^2 - x^2)^{3/2} \right]_0^{h/2} \right) \right) \right)\\
&=& 8\left( \frac{1}{4} \pi r^2 h +\frac{2}{3}\left[ (r^2 - x^2)^{3/2} \right]_0^{h/2}\right)\\
\end{eqnarray*}
\)
Yap, rumus sudah didapatkan. Selanjutnya tinggal diaplikasikan ke program.